Question

四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的側(cè)楞AA₁垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，AD=AB=AA₁=2BC，E為DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為A₁D的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面A₁BC；
（2）求直線EF與平面A₁CD所成角θ的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）EF是△DA₁C的中位線，得到EF∥A₁C，從而證得EF∥平面A₁BC．
（2）建立坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，則A₁（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)（0，1，1），求出平面A₁CD的法向量，

EF

，利用向量的夾角公式，即可求直線EF與平面A₁CD所成角θ的正弦值．

解答： （1）證明：∵E為DD₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為A₁D的中點(diǎn)，
∴EF是△DA₁C的中位線，∴EF∥A₁C．
∵A₁C?面A₁BC，EF?面A₁BC，
∴EF∥平面A₁BC．
（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)BC=1，則A₁（0，0，2），C（2，1，0），D（0，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)（0，1，1），

∴

EF

=（0，-1，0），

A1C

=（2，1，-2），

A1D

=（0，2，-2），
設(shè)平面A₁CD的法向量為

n

=（x，y，z），則

2x+y-2z=0 2y-2z=0

，取

n

=（1，2，2），
∴直線EF與平面A₁CD所成角θ的正弦值為

2

1+4+4 • 1

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線面平行的方法，考查直線EF與平面A₁CD所成角θ的正弦值，考查向量法的運(yùn)用，屬于中檔題．