【題目】已知函數(shù)f(x)=ex+ax+b(a≠0,b≠0).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2,求f(x)在區(qū)間[﹣2,1]上的最值;
(2)若a=﹣b,試討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【答案】
(1)解:∵f(x)=ex+ax+b,∴f′(x)=ex+a,
∴f′(0)=1+a,
∵函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2,
∴a=﹣1.
∵x=0,f(0)=2,
∴1+b=2,
∴b=1,
∴f(x)=ex﹣x+1,
∴f′(x)=ex﹣1,
當(dāng)x<0時(shí),有f′(x)<0,f(x)遞減,
當(dāng)x>0時(shí),有f′(x)>0,f(x)遞增.
則x=0處f(x)取得極小值,也為最小值,且為2,
又f(﹣2)=e﹣2+3,f(1)=e,f(2)>f(1),
即有f(﹣2)為最大值e﹣2+3;
(2)解:若a=﹣b,f(x)=ex+ax﹣a=0,x>1,﹣a= ,
令g(x)= ,則g′(x)= ,
當(dāng)x>2時(shí),g′(x)>0,g(x)遞增,
當(dāng)x<1和1<x<2時(shí),g′(x)<0,g(x)遞減.
即有x=2處g(x)取得極小值,為e2,
∴﹣a<e2,即a>﹣e2,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0;
﹣a=e2,即a=﹣e2,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1;
﹣a>e2,即a<﹣e2,函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.
【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=2,解得a=﹣1,b=1,求得極小值2,也為最小值,再求f(﹣2)和f(1),比較即可得到最大值;(2)若a=﹣b,f(x)=ex+ax﹣a=0,x>1,﹣a= ,g(x)= ,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間和極值,即可討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= (a、b為常數(shù)),且f(1)= ,f(0)=0.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)f(x)在定義域上的奇偶性,并證明;
(3)對于任意的x∈[0,2],f(x)(2x+1)<m4x恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)叫做單位分?jǐn)?shù),我們可以把1拆分成多個(gè)不同的單位分?jǐn)?shù)之和.例如:1= + + ,1= + + + ,1= + + + + ,…,依此拆分法可得1= + + + + + + + + + + + + + ,其中m,n∈N* , 則m﹣n=( )
A.﹣2
B.﹣4
C.﹣6
D.﹣8
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于任意實(shí)數(shù)x,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),如[2.2]=2,[﹣3.5]=﹣4,設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=[log21]+[log22]+[log23]+…[log2(2n﹣1)].
(1)求a1a2a3的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得an=(n﹣2)2n+a(n∈N*),并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(﹣1,4)及圓C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.則下列判斷正確的序號為 .
①點(diǎn)P在圓C內(nèi)部;
②過點(diǎn)P做直線l,若l將圓C平分,則l的方程為x+3y﹣11=0;
③過點(diǎn)P做直線l與圓C相切,則l的方程為y﹣4=0或3x+4y﹣13=0;
④一束光線從點(diǎn)P出發(fā),經(jīng)x軸反射到圓C上的最短路程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex﹣kx,x∈R(e是自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)若k∈R,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若k>0,討論函數(shù)f(x)在(﹣∞,4]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1: (α為參數(shù))與曲線C2:ρ=4sinθ
(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)求曲線C1和C2公共弦的長度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的部分圖象如圖所示,下面結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( )
①函數(shù)f(x)的最小正周期是2π
②函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移 個(gè)單位長度得到
③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x= 對稱
④函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ]上是增函數(shù).
A.3
B.2
C.1
D.0
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