Question

【題目】已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）求實(shí)數(shù)的值及函數(shù)的最大值；

（2）證明：對(duì)任意的.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，已知切線方程說(shuō)明，，代入后可得，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得出最大值；

（2）不等式為，可用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，證明這個(gè)最小值大于0，即證得原不等式成立．

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，因的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，所以解得，所以，故．令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．

（2）證明：原不等式可變?yōu)?/span>則

，可知函數(shù)單調(diào)遞增，

而，

所以方程在（0，+∞）上存在唯一實(shí)根x0，使得．

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；所以

.

即在（0，+∞）上恒成立，

所以對(duì)任意x＞0，成立．