Question

已知(x2-

1

x

)n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為

3

14

．
（1）求n的值； 
（2）求展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)； 
（3）求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)列出方程求出n的值．
（2）將求出n的值代入通項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出r的值，將r的值代入通項(xiàng)求出展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)．
（3）利用展開(kāi)式中間項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）(x2-

1

x

)n展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r

C

r n

x2n-

5r

2

∴展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)分別為C_n²，C_n⁴
據(jù)題意得

C 2 n

C 4 n

=

3

14

解得n=10；
（2）∴展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=(-1)r

C

r 10

x20-

5r

2

令20-

5r

2

=0得r=8
∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C₁₀⁸=45
（3）∵n=10
∴展開(kāi)式共有11項(xiàng)
中間項(xiàng)為第6項(xiàng)
二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T₆=-252x

15

2

點(diǎn)評(píng)：解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，一般利用的工具是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式．