Question

已知(x2-

1

x

)n展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)的和比（3a+2b）⁷展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的和大128，求(x2-

1

x

)n展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：先由條件求出n=8，再求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)r為何值時(shí)，展開式的系數(shù)最大或最小，從而求得展開式中的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)．

解答：解：由題意可得 2ⁿ-2⁷=128，解得n=8．
故 (x2-

1

x

)n=(x2-

1

x

)8 展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=

C

r 8

•x^16-2r•（-1）^r•x^-r=（-1）^r•

C

r 8

•x^16-3r．
由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)r=4時(shí)，(x2-

1

x

)n展開式中的系數(shù)最大，為T₅=

C

4 8

•x⁴=70x⁴；
當(dāng)r=3或5時(shí)，(x2-

1

x

)n展開式中的系數(shù)最小，為 T₄=-

C

3 8

•x⁷=-56x⁷，或 T₆=-

C

5 8

•x=-56x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．