平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓把平面分成n2－n+2部分.

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，1個(gè)圓把平面分成兩部分，而2=12－1+2，所以n=1時(shí)命題成立.

（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k2－k+2部分.

第k+1個(gè)圓把k個(gè)圓分成2k條弧，每條弧都把它們所在的區(qū)域分成兩部分，因此，比k個(gè)圓時(shí)共增加了2k部分，即k2－k+2+2k=k2+k+2=（k+1）2－（k+1）+2.于是n=k+1時(shí)，命題成立.

由（1）（2）知對(duì)于所有n∈N*，命題成立.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

31、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都交于兩點(diǎn)，且無三個(gè)圓交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成n2+n+2個(gè)部分．

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18、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓都沒有共同的交點(diǎn)，試證明這n個(gè)圓把平面分成了n2-n+2個(gè)區(qū)域．

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平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且無任何三個(gè)圓相交于一點(diǎn)，求證：這n個(gè)圓將平面分成f（n）=n2-n+2個(gè)部分.

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