Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a•b，其中向量a=（2cosx，1），b=（cosx，-

3

sin2x），x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若x∈[-

π

4

，0]，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）若函數(shù)y=f（x）的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后得到函數(shù)y=2sin2x的圖象，求實(shí)數(shù)m、n的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量的數(shù)量積，然后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式得到f（x），然后找出正弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，解出x的范圍即可得到f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）由x的范圍求出2x+

5π

6

的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象得到f（x）的值域；
（3）函數(shù)按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）平移后函數(shù)的解析式設(shè)為y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-

5π

6

）+1+n．對應(yīng)項(xiàng)相等得到m與n的值．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=2cos²x-

3

sin2x=-

3

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+

5π

6

）+1．
令2kπ+

π

2

≤2x+

5π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z．
因此，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，0]時(shí)，2x+

5π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

5π

6

）∈[

1

2

，1]，因此，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，3]．

（3）函數(shù)y=f（x）的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜

π

2

）
平移后得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)是y=f（x-m）+n=2sin（2x-2m-

5π

6

）+1+n．
令-2m+

5π

6

=2kπ，k∈Z，1+n=0，得m=-kπ+

5π

12

，n=-1．又|m|＜

π

2

，故m=

5π

12

．

點(diǎn)評：考查學(xué)生靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式進(jìn)行化簡求值，會進(jìn)行平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，會求符合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．考查學(xué)生熟悉正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)．