【題目】已知函數(shù)f(x)=loga ,g(x)=loga(x+2a)+loga(4a﹣x),其中a>0,且a≠1.
(1)求f(x)的定義域,并判斷f(x)的奇偶性;
(2)已知區(qū)間D=[2a+1,2a+ ]滿足3aD,設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),h(x)的定義域?yàn)镈,若對(duì)任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:由 ,整理得(x+2a)(x﹣2a)>0,解得x<﹣2a,或x>2a,

∴f(x)的定義域?yàn)椋ī仭,?a)∪(2a,+∞).

又∵ = ,

∴f(﹣x)=f(x),

∴f(x)為奇函數(shù)


(2)解:由已知3a[2a+1,2a+ ],

∴2a+1>3a,或2a+ <3a,即0<a<1,或a>

又∵要使g(x)有意義,就須使x+2a>0,且4a﹣x>0,即﹣2a<x<4a,

結(jié)合(1)中f(x)的定義域知函數(shù)h(x)的自變量x須滿足2a<x<4a.

由題知h(x)在區(qū)間[2a+1,2a+ ]上有意義,

解得a>

<a<1,或a>

∵h(yuǎn)(x)=f(x)+g(x)= +loga(x+2a)+loga(4a﹣x)= ,

∴|h(x)|≤2恒成立,即為| |≤2恒成立.

因?yàn)?3a[2a+1,2a+ ],所以h(x)≠2,

即題意轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈[2a+1,2a+ ],不等式﹣2≤ 應(yīng)恒成立.

①當(dāng) 時(shí),上式等價(jià)于a2<﹣x2+6ax﹣8a2≤a2應(yīng)恒成立.

由于左端a2<﹣x2+6ax﹣8a2,即(x﹣3a)2<0,顯然不成立.

②當(dāng) 時(shí),問題轉(zhuǎn)化為a2≤﹣x2+6ax﹣8a2<a2應(yīng)恒成立.

對(duì)于右端﹣x2+6ax﹣8a2<a2,等價(jià)于(x﹣3a)2>0,顯然成立.

研究左端 ≤0成立的條件.

,對(duì)稱軸x=3a,開口向上.

,故h(x)在區(qū)間[2a+1,2a+ ]上是減函數(shù),

∴h(x)max=h(2a+1),

∴要使左端成立,只需h(2a+1)<0成立,

即需 ,

也就是需2a3﹣a2﹣1>0,

也就是(a﹣1)(2a2+a+1)>0,

只須a>1,而已知 ,故當(dāng) 時(shí),不等式a2≤﹣x2+6ax﹣8a2<a2恒成立.

綜上所述,滿足條件的a的取值范圍為( ,+∞)


【解析】(1)由 ,解得:函數(shù)f(x)的定義域,再由函數(shù)奇偶性的定義,可判斷出f(x)為奇函數(shù).(2)若對(duì)任意x∈D,不等式|h(x)|≤2恒成立,即為| |≤2恒成立,分類求出各種情況下滿足條件的a值,綜合可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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支持

反對(duì)

總計(jì)

男生

30

女生

25

總計(jì)

(Ⅰ)完成列聯(lián)表,并判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為態(tài)度與性別有關(guān)?
(Ⅱ)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反對(duì);有4名女生被抽到,其中2人支持,2人反對(duì),現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取一男一女進(jìn)一步調(diào)查原因.求其中恰有一人支持一人反對(duì)的概率.
參考公式及臨界表:K2=

P(K2≥k0

0.10

0.050

0.010

0.005

0.001

k0

2.706%

3.841

6.635

7.879

10.828

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