Question

已知函數(shù)

（1）若，求證：函數(shù)在(1，+∞)上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值；

（3）若存在[l，e]，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）的最小值為1，相應(yīng)的x值為1；（3）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)時(shí),，當(dāng)，，因此要證在上是增函數(shù)，只需證明在上有，而這是顯然成立的，故得證；（2）由（1）中的相關(guān)結(jié)論，可證當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上的最小值即為；（3）可將不等式變形為，因此問(wèn)題就等價(jià)于當(dāng)時(shí)，需滿(mǎn)足，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在上的單調(diào)性，可知在上為增函數(shù)，故，即的取值范圍是．

（1）當(dāng)時(shí),，當(dāng)，，

故函數(shù)在上是增函數(shù) 2分；

（2）,當(dāng),，

當(dāng)時(shí)，在上非負(fù)(僅當(dāng)，時(shí)，)，

故函數(shù)在上是增函數(shù),此時(shí).

∴當(dāng)時(shí),的最小值為1,相應(yīng)的值為1. 5分；

（3）不等式,可化為.

∵， ∴且等號(hào)不能同時(shí)取,所以,即，

因而()，

令(),又，

當(dāng)時(shí)，，，

從而(僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),所以在上為增函數(shù)，

故的最小值為,所以的取值范圍是. 10分.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性求極值；2.存在性問(wèn)題的處理方法