如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2．

(Ⅰ)證明：平面PBE⊥平面PAB；

(Ⅱ)求平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大�。�

答案：
解析：

　　解：解法一(Ⅰ)如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等邊三角形．因為E是CD的中點，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB．又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE．而AB＝A，因此BE⊥平面PAB．

　　又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB．

　　(Ⅱ)延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF．過點A作AH⊥PB于H，由(Ⅰ)知平面PBE⊥平面PAB，所以AH⊥平面PBE．

　　在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，所以，AF＝2AB＝2＝AP．

　　在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG．

　　則AG⊥PF．連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PF⊥HG．

　　所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角(銳角)．

　　在等腰Rt△PAF中，

　　在Rt△PAB中，

　　所以，在Rt△AHG中，

　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是

　　解法二　如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系．則相關(guān)各點的坐標(biāo)分別是A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，

　　(Ⅰ)因為，平面PAB的一個法向量是，所以共線．從而BE⊥平面PAB．

　　又因為平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB．

　　(Ⅱ)易知

　　設(shè)是平面PBE的一個法向量，則由得所以

　　設(shè)是平面PAD的一個法向量，則由得所以故可取

　　于是，

　　故平面PAD和平面PBE所成二面角(銳角)的大小是


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大�。�
（Ⅲ）求點B到平面PDE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱錐P-ABCD的體積．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．
（1）求線段PD的長；
（2）若PC=
11
R，求三棱錐P-ABC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺一模）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥AD，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．
求證：
（1）BC∥平面EFG；
（2）平面EFG⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，PA=AD=AB=1．
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐B-PDC的體積V．

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