精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形,其中BD是圓的直徑,∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP~△BAD.
(1)求線段PD的長(zhǎng);
(2)若PC=
11
R
,求三棱錐P-ABC的體積.
分析:(1)要求線段PD的長(zhǎng),利用三角形相似,以及直角三角形,即可解答.
(2)若PC=
11
R
,求三棱錐P-ABC的體積.先求底面面積,說(shuō)明PD⊥底面,求出PD即可求出體積.
解答:解:(1)∵BD是圓的直徑,
∴∠BAD=90°又△ADP~△BAD,
AD
BA
=
DP
AD
,DP=
AD2
BA
=
(BDsin60°)2
(BDsin30°)
=
4R2×
3
4
2R×
1
2
=3R


(2)在Rt△BCD中,CD=BDcos45°=
2
R

∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2
∴PD⊥CD又∠PDA=90°,
∴PD⊥底面ABCD.
S△ABC=
1
2
AB•BCsin(60°+45°)=
1
2
R•
2
R(
3
2
2
2
+
1
2
2
2
)=
3
+1
4
R2

三棱錐P-ABC的體積為:VP-ABC=
1
3
S△ABC•PD=
1
3
3
+1
4
R2•3R=
3
+1
4
R3
點(diǎn)評(píng):本題考查棱錐的體積計(jì)算方法,求線段的長(zhǎng),考查空間想象能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=3,PC=CD=2,PC⊥底面ABCD,E為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;
(Ⅱ)求二面角C-PD-E的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面PDE的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是一個(gè)矩形,AB=3.AD=1.又PA⊥AB,PA=4,
∠PAD=60°.求:
(1)四棱錐P-ABCD的體積.
(2)二面角P-BC-D的正切值.

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(2012•煙臺(tái)一模)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,ABCD為正方形,PA⊥AD,E,F(xiàn),G分別是線段PA,PD,CD的中點(diǎn).
求證:
(1)BC∥平面EFG;
(2)平面EFG⊥平面PAB.

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如圖所示,四棱錐P-ABCD底面是直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn),PA=AD=AB=1.
(1)證明:EB∥平面PAD;
(2)證明:BE⊥平面PDC;
(3)求三棱錐B-PDC的體積V.

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