Question

定義域是一切實(shí)數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則稱(chēng)f（x）是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：
①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”；
②f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”；
③“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對(duì)①②③逐個(gè)判斷即可得到答案．

解答： 解：①∵f（x）=0是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則0+λ•0=0，λ可以取遍實(shí)數(shù)集，因此f（x）=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確；
②用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式無(wú)解，
∴f（x）=x²不是一個(gè)“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確；
③令x=0得：f（

1

2

）+

1

2

f（0）=0，
∴f（

1

2

）=-

1

2

f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

f（0）•f（0）=-

1

2

f²（0）＜0，
又因?yàn)閒（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
∴f（x）在（0，

1

2

）上必有實(shí)數(shù)根．因此任意的“

1

2

相關(guān)函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”至少有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確．
綜上所述，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是③．
故答案為：③

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查反證法與函數(shù)零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．