Question

如圖所示四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求證：BF∥平面ACE；
（Ⅲ）求直線PD與平面PAC所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）證明CD⊥平面PAC，證明PA⊥CD，AC⊥CD即可；
（Ⅱ）解法一：連接BD，交AC于O，取PE中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，EO，證明平面BFG∥平面ACE，即可證得BF∥平面ACE；
解法二：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點(diǎn)G，連接FD交CE于H，連接OH，則證明BF∥OH，即可證得BF∥平面ACE；
（Ⅲ）確定∠DPC為直線PD與平面PAC所成的角，在Rt△PCD中，即可求得直線PD與平面PAC所成的角的正弦值．
解答：（Ⅰ）證明：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，CD?面ABCD，所以PA⊥CD，
又因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD中，，
所以AC²+CD²=AD²，即AC⊥CD，
又PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC；…（4分）
（Ⅱ）解法一：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點(diǎn)G，連接BG，F(xiàn)G，EO，則在△PCE中，F(xiàn)G∥CE，
又EC?平面ACE，F(xiàn)G?平面ACE，所以FG∥平面ACE，
因?yàn)锽C∥AD，所以，則OE∥BG，
又OE?平面ACE，BG?平面ACE，所以BG∥平面ACE，
又BG∩FG=G，所以平面BFG∥平面ACE，
因?yàn)锽F?平面BFG，所以BF∥平面ACE．…（10分）
解法二：如圖，連接BD，交AC于O，取PE中點(diǎn)G，
連接FD交CE于H，連接OH，則FG∥CE，
在△DFG中，HE∥FG，則，
在底面ABCD中，BC∥AD，所以，
所以，故BF∥OH，又OH?平面ACE，BF?平面ACE，
所以BF∥平面ACE．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，CD⊥平面PAC，所以∠DPC為直線PD與平面PAC所成的角，
在Rt△PCD中，，
所以，
所以直線PD與平面PAC所成的角的正弦值為．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直、線面平行，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直、線面平行的判定方法，正確找出線面角．