Question

（2010•廣東模擬）已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，其中主視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對(duì)角線的正方形．E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：BD⊥AE
（Ⅱ）若E為PC的中點(diǎn)，求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；
（Ⅲ）若五點(diǎn)A，B，C，D，P在同一球面上，求該球的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證BD⊥AE，只要證BD⊥面PAC，只需證BD⊥AC，BD⊥PC；（Ⅱ）要求直線BE與平面PBD所成角的正弦值，必須找到直線BE在平面PBD內(nèi)的射影，由（Ⅰ）易找面PBD的垂線，歸結(jié)為解直角三角形；（Ⅲ）補(bǔ)圖，把原圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，即求該長(zhǎng)方體的外接球的體積．

解答：（Ⅰ）證明：由已知PC⊥BC，PC⊥DC⇒PC⊥面ABCD
∵BD?面ABCD⇒BD⊥PC，
又因?yàn)锽D⊥AC，∴BD⊥面PAC，
又∵AE?面PAC，∴BD⊥AE．
（Ⅱ）解；連AC交BD于點(diǎn)O，連PO，
由（1）知BD⊥面PAC，⇒面BED⊥面PAC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥PO于H，則EH⊥面PBD，
∴∠EBH為BE與平面PBD所成的角．
∵EH=

1

3

，BE=

2

，
則sin∠EBH=

1 3

2

=

2

6

．
（Ⅲ）解：以正方形ABCD為底面，PC為高補(bǔ)成長(zhǎng)方體，此時(shí)對(duì)角線PA的長(zhǎng)為球的直徑，
∴2R=PA=

1+1+4

=

6

，所以R=

6

2

．
V球=

4

3

πR3=

6

π．

點(diǎn)評(píng)：考查簡(jiǎn)單的空間圖形的三視圖，和線面垂直的判定和性質(zhì)定理，以及線面角的求法，和幾何體的外接球的體積等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，思維跨度大，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，和割補(bǔ)法，屬中檔題．