Question

給出以下四個(gè)命題：
（1）若sinA=sinB，則△ABC為等腰三角形；
（2）若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，則△ABC為正三角形；
（3）若tanAtanB＞1，則△ABC一定是鈍角三角形；
（4）△ABC中，a=2，b=3，C=60°，則三角形為銳角三角形．
以上正確命題的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：解三角形,簡易邏輯

分析：對(duì)于（1），在三角形內(nèi)由角的正弦值相等得到角相等加以判斷；
對(duì)于（2），由三角函數(shù)的有界性結(jié)合已知條件得到A=B=C；
對(duì)于（3），由tanAtanB＞1得到tanAtanB＞0，進(jìn)一步得到cosAcosB＞0，移項(xiàng)后結(jié)合兩角和的余弦得答案；
對(duì)于（4），通過解三角形求出c，判斷出最大角，再由余弦定理判斷最大角為銳角得答案．

解答： 解：對(duì)于（1），若sinA=sinB，
∵0＜A＜π，0＜B＜π，0＜A+B＜π，
∴A=B，
△ABC為等腰三角形．命題（1）正確；
對(duì)于（2），若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，
∵-1≤cos（A-B）≤1，-1≤cos（B-C）≤1，-1≤cos（C-A）≤1，
又-π＜A-B＜π，-π＜B-C＜π，-π＜C-A＜π，
∴cos（A-B）=1，cos（B-C）=1，cos（C-A）=1，
則A-B=0，B-C=0，C-A=0，故A=B=C，△ABC為正三角形．命題（2）正確；
對(duì)于（3），若tanAtanB＞1，說明tanAtanB＞0，
∵sinAsinB＞0，
∴cosAcosB＞0，這說明A和B同為銳角或者同為鈍角，
又A和B均為三角形內(nèi)角，
∴A、B同為銳角，由此有sinAsinB＞cosAcosB，
∴cosAcosB-sinAsinB＜0，即cos（A+B）＜0，
∴

π

2

＜A+B＜π，由此C＜

π

2

．
因此△ABC一定是銳角三角形．命題（3）錯(cuò)誤；
對(duì)于（4），若a=2，b=3，C=60°，
根據(jù)余弦定理，得c²=2²+3²-2×2×3cos60°=7．
∴c=

7

，可得a＜c＜b，
∴A＜C＜B，因此B是△ABC中的最大角，
∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

7

14

＞0，而B∈（0，π），
∴B是銳角，從而A、C均為銳角，
∴△ABC為銳角三角形．命題（4）正確．
∴正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了三角形形狀的判定，訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維能力，是中檔題．