Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），對(duì)任意的m∈[﹣2，4]恒成立，則整數(shù)k的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x）， ∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
函數(shù)f（x）= ．定義域?yàn)镽，函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)．
證明：設(shè)x1 ， x2是R內(nèi)任意兩個(gè)值，且x1＜x2 ．
則 = ①．
又因?yàn)閤1＜x2 ， 所以 ，又 ．
所以①＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）是R上的增函數(shù)．
則不等式若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0等價(jià)為若不等式f（8m+ek）＞﹣f（﹣2m2+2m﹣1）=f（2m2﹣2m+1），
即8m+ek＞2m2﹣2m+1，
即ek＞2m2﹣10m+1，
設(shè)g（m）=2m2﹣10m+1，則函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為m= = ，
則當(dāng)m∈[﹣2，4]時(shí)，當(dāng)m=﹣2時(shí)，函數(shù)g（m）取得最大值g（﹣2）=29，
即ek＞g（m）max=29，
則k＞ln29．
∵k是整數(shù)，
∴k的最小值是4，
故選：C．