Question

（2013•德州二模）已知向量

a

=（2cosωx，-1），

b

=（

3

sinωx+cosωx，1）（ω＞0），函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最小正周期為π．
（I）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及最大值；
（Ⅱ）若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由向量的數(shù)量積公式，結(jié)合三角恒等變換公式化簡(jiǎn)得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），由函數(shù)的周期算出ω的值，即可得到函數(shù)f（x）的表達(dá)式，進(jìn)而利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的最大值；
（2）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，算出當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)y=2sin（2x+

π

6

）的最大值為2且最小值為-1，由此結(jié)合f（x）≥a恒成立，可得實(shí)數(shù)a小于或等于f（x）的最小值，由此即可得到本題的答案．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cosωx（

3

sinωx+cosωx）-1
=

3

sin2ωx+2cos²ωx-1=

3

sin2ωx+cos2ωx
=2sin（2ωx+

π

6

）
∵f（x）的最小正周期為T=

2π

2ω

=π，解之得ω=1
∴函數(shù)f（x）的表達(dá)式為y=2sin（2x+

π

6

）；
（2）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴當(dāng)x=

π

6

時(shí)，y=2sin（2x+

π

6

）的最大值為2；
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，y=2sin（2x+

π

6

）的最小值為-1
因此，若在x∈[0，

π

2

]上f（x）≥a恒成立，則a≤-1
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最小正周期和最值，并討論不等式恒成立的問(wèn)題．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、向量數(shù)量積運(yùn)算和不等式恒成立的理解等知識(shí)，屬于中檔題．