Question

已知函數(shù)g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，且θ∈(0，π)，f(x)=mx-

m-1+2e

x

-lnx，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，知g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=mx-

m-2e

x

-2lnx，當(dāng)m≤0時，在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立；當(dāng)m＞0時，F‘(x)=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，由x∈[1，e]，知2e-2x≥0，mx²+m＞0，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵數(shù)g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞)上為增函數(shù)，
∴g′(x)=-

1

sinθ•x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθ•x-1

sinθ•x2

≥0，
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，
故要使sinθ•x-1≥0在[1，+∞）恒成立，
只需sinθ•1-1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

．
（2）令F(x)=f(x)-g(x)=mx-

m-2e

x

-2lnx，
①當(dāng)m≤0時，x∈[1，e]，mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴在[1，e]上不存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立．
②當(dāng)m＞0時，F‘(x)=m+

m+2e

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，
mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，
F(x) max=F(e)=me-

m

e

-4，
只要me-

m

e

-4＞0，
解得m＞

4e

e2-1

．
故m的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．