Question

已知函數g(x)=

1-x2

1+x2

(x≠0，x≠±1，x∈R)的值域為A，定義在A上的函數f（x）=x^-2-x²（x∈A）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）的單調性并用定義證明；
（3）解不等式f（3x+1）＞f（5x+1）．

Answer 1

分析：（1）化簡函數f（x），考察函數的定義域再利用函數的奇偶性的定義直接求解即可；
（2）任取設x₁＜x₂我們構造出f（x₁）-f（x₂）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₁）-f（x₂）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案；
（3）由（1）知f（x）是偶函數，所以f（x）=f（|x|），從而原不等式化為f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）再結合函數的單調性脫掉函數符號：“f”轉化為絕對值不等式組求解即得．

解答：解：（1）由y=

1-x2

1+x2

得x2=

1-y

1+y

＞0，故-1＜y＜1，因此A=（-1，0）∪（0，1）．又
因為f（-x）=f（x），所以f（x）是偶函數；
（2）設x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

1

x 2 1

-

x

2 1

-

1

x 2 2

+

x

2 2

=(x2-x1)(x2+x1)(1+

1

x 2 1 x 2 2

)，
①如果x₁，x₂∈（-1，0），那么x₁+x₂＜0，故f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）；
②若x₁，x₂∈（0，1），則x₁+x₂＞0，故f（x₁）-f（x₂）＞0即f（x₁）＞f（x₂）．
因此f（x）在（-1，0）單增，在（0，1）單減；
（3）因為f（x）是偶函數，所以f（x）=f（|x|），從而原不等式化為f（|3x+1|）＞f（|5x+1|）．
故

|3x+1＜|5x+1 0＜|3x+1＜1 0＜|5x+1＜1

，即

(8x+2)•2x＞0 - 2 3 ＜x＜0且x≠- 1 3 - 2 5 ＜x＜ 0且x≠- 1 5

，
解得-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

，從而原不等式的解集為{x|-

2

5

＜x＜-

1

3

或-

1

3

x＜-

1

4

}．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．