Question

（2009•棗莊一模）有以下四個(gè)命題：
①若x，y∈R，i為虛數(shù)單位，且（x-2）i-y=-1+i，則（1+i）^x+y的值為-4；
②將函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)；
③若直線ax+by=4與圓x²+y²=4沒有交點(diǎn)，則過點(diǎn)（a，b）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有兩個(gè)交點(diǎn)；
④在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小．
其中所有正確命題的序號(hào)為

①③

．

Answer 1

分析：①利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行求值．②利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷．③利用直線與圓的位置關(guān)系判斷．④利用回歸分析的知識(shí)進(jìn)行判斷．

解答：解：①由（x-2）i-y=-1+i，得x-2=1且-y=-1，解得x=3，y=1．所以x+y=4，
      所以（1+i）^x+y=（1+i）⁴=（2i）²=-4，所以①正確．
②將函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

3

）+1的圖象向左平移

π

6

個(gè)單位后，得到函數(shù)為y=cos[2(x+

π

6

)+

π

3

]+1=cos(2x+

2π

3

)+1，
   此時(shí)函數(shù)不是偶函數(shù)，所以②錯(cuò)誤．
③因?yàn)橹本�ax+by=4與圓x²+y²=4沒有交點(diǎn)，所以圓心到直線的距離d=

|4|

a2+b2

＞2，即

a2+b2

＜2，即點(diǎn)P（a，b）到原點(diǎn)的距離|OP|＜2，
因?yàn)橛蓹E圓的方程可知，a=2，所以點(diǎn)P（a，b）在橢圓的內(nèi)部，所以過點(diǎn)（a，b）的直線與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有兩個(gè)交點(diǎn)，所以③正確．
④可用殘差圖判斷模型的擬合效果，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明這樣的模型比較合適．帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型的擬合精度越高．
則對(duì)應(yīng)相關(guān)指數(shù)越大，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，要求熟練掌握相關(guān)的知識(shí)．