Question

已知△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)AB、AC于E、F兩點(diǎn)，若

AB

=λ

AE

，

AC

=μ

AF

（λ＞0，μ＞0），則

1

λ

+

4

μ

的最小值為（　　）

• A、

  9

  2

• B、

  13

  2

• C、

  15

  2

• D、

  17

  2

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：由題意可知

AD

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

，由D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)可知

λ

2

+

μ

2

=1，利用基本不等式即可求解．

解答： 解：由題意可知，

AD

=

1

2

AB

+

1

2

AC

=

λ

2

AE

+

μ

2

AF

    又D，E，F(xiàn)共線(xiàn)，
∴

λ

2

+

μ

2

=1
又（λ＞0，μ＞0）
∴

1

λ

+

4

μ

=（

1

λ

+

4

μ

）•(

λ

2

+

μ

2

)
=

5

2

+

2λ

μ

+

μ

2λ

≥

5

2

+2

2λ μ • μ 2λ

=

9

2

當(dāng)且僅當(dāng)

2λ

μ

=

μ

2λ

，即μ=2λ時(shí)取等號(hào)．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考察了向量與基本不等式的綜合運(yùn)用，其中向量式的結(jié)論和“1”的代入是關(guān)鍵，屬中檔題．