Question

集合{23，-34，57，

18

17

，86，-75，

3

7

，-1}每一個(gè)非空子集的元素乘積（單元素集取元素本身）之和為

-1

．

Answer 1

分析：集合{23，-34，57，

18

17

，86，-75，

3

7

，-1}每一個(gè)非空子集的元素乘積應(yīng)該是8個(gè)元素自身取一次，每2個(gè)元素乘積一次，每3個(gè)元素乘積一次，等等，8個(gè)元素還要乘積一次，記集合中的8個(gè)元素分別為：x₁，x₂，…，x₈，最后的和相當(dāng)于（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）-1，因?yàn)閤₈=-1，所以（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）=0，則結(jié)果可求．

解答：解：記集合中的8個(gè)元素分別為：x₁，x₂，…，x₈，
只有一個(gè)元素的子集的元素乘積之和為：x₁+x₂+…+x₈，
含有兩個(gè)元素的元素乘積之和為：x₁x₂+x₁x₃+…+x₇x₈，
…
含有八個(gè)元素的子集的元素乘積為：x₁x₂…x₈，
把以上8組和式作和得：集合中每一個(gè)非空子集的元素乘積（單元素集取元素本身）之和為：
（1+x₁）（1+x₂）…（1+x₈）-1，
因?yàn)?+x₈=1-1=0，
所以集合{23，-34，57，

18

17

，86，-75，

3

7

，-1}每一個(gè)非空子集的元素乘積（單元素集取元素本身）
之和為-1．
故答案為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了子集與真子集，解答此題的關(guān)鍵是把所有非空子集的和看作從（1+x₁），（1+x₂），…，（1+x₈）這8個(gè)因式中任取一個(gè)、任取兩個(gè)、等等與其它的1相乘最后作和，該題比較抽象，思考有一定難度．