已知a＞b＞c,求證:a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2.

思路分析：本題可以用作差法進(jìn)行推理證明,但也可以打破思維定式,從二次函數(shù)及方程這個(gè)角度來(lái)證明.

證法一:a2b+b2c+c2a-ab2-bc2-ca2

=(b-c)a2+(c2-b2)a+bc(b-c)

=(b-c)［a2-(b+c)a+bc］

=(a-b)(b-c)(a-c)＞0(∵a＞b＞c)，

∴a2b+b2c+c2a＞ab2+bc2+ca2.

    證法二:令f(a)=(b-c)a2+(c2-b2)a+bc(b-a)

=(b-c)［a2-(c+b)a+bc］.

    方程f(a)=0的兩根為b,c,又b-c＞0,且a＞b＞c.

結(jié)合圖象,知f(a)＞0.

    所以原不等式成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）已知x，y都是正實(shí)數(shù)，求證：x3+y3≥x2y+xy2；
（Ⅱ）已知a，b，c都是正實(shí)數(shù)，求證：a3+b3+c3≥
13
(a2+b2+c2)(a+b+c)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且
OA
，
OB
，
OC
滿足：
OA
-(y+1-lnx)
OB
+
1-x
ax
OC
=
0
(O∉l且a＞0)．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
．(n≥2且n∈N*)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：山西省康杰中學(xué)2011－2012學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：047

已知a＞b＞c求證：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知a＞b＞c,求證:.

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