Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)面PDC為正三角形，且面PDC⊥面ABCD，E為PC中點(diǎn)．
（1）求證：PA∥平面BDE；
（2）求證：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連接OE，則O是AC的中點(diǎn)又E為PC的中點(diǎn)，∴PA∥OE．
∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE；
（2）證明：∵正三角形PDC中，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)
∴DE⊥PC
∵正方形ABCD中，BC⊥CD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD
∴BC⊥平面PDC
∴BC⊥DE
∵PC∩BC=C，∴DE⊥平面PBC
∵DE?平面EDB
∴平面EDB⊥平面PBC；
（3）過(guò)E作EH⊥PB，垂足為H，連接DH，則DH⊥PB
∴∠DHE為二面角D-PB-C的平面角
設(shè)正方形ABCD和正△PDC的邊長(zhǎng)為2，則在Rt△DEH中，DE=

3

∵EH=

1 2 S△PBC

1 2 PB

=

1 2 PC•BC

PC2+BC2

=

2

2

∴tan∠DHE=

DE

EH

=

3

2 2

=

6

∴二面角D-PB-C的正切值是

6

．