Question

已知函數(shù) f（x）=log_a（1-ax²）（a＞0且a≠1）
（1）若0＜a＜1，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）解不等式f（x）＞1．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專(zhuān)題：分類(lèi)討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a∈（0，1）時(shí)，令t=1-ax² ，顯然函數(shù)g（t）=log_a t 是減函數(shù)．令t＞0，求得-

1

a

＜x＜

1

a

．再根據(jù)函數(shù)t的單調(diào)性得到 f（x）=log_a（1-ax²）的單調(diào)性．
（2）不等式即log_a（1-ax²）＞1=log_aa，分當(dāng)a＞1時(shí)和當(dāng)0＜a＜1時(shí) 兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得不等式的解集．

解答： 解：（1）∵0＜a＜1，令t=1-ax² ，顯然函數(shù)g（t）=log_a t 是減函數(shù)．
令t＞0，求得-

1

a

＜x＜

1

a

．
在（-

1

a

，0）上，函數(shù)t是增函數(shù)，函數(shù) f（x）=log_a（1-ax²）是減函數(shù)．
在（0，

1

a

）上，函數(shù)t是減函數(shù)，函數(shù) f（x）=log_a（1-ax²）是增函數(shù)．
故f（x）=log_a（1-ax²）的增區(qū)間為 （0，

1

a

），減區(qū)間為（-

1

a

，0）．
（2）不等式f（x）＞1，即 log_a（1-ax²）＞1=log_aa，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，可得1-ax² ＞a，即ax² +a-1＜0，即 ax²＜1-a＜0，x無(wú)解．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，可得 0＜1-ax² ＜a，解得

1-a

a

＜x²＜

1

a

，
故不等式的解集為{x|

1-a a

＜x＜

1

a

，或-

1

a

＜x＜

1-a a

}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．