Question

已知函數(shù)f（x）=x²，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），求h（x）的最小值；
（Ⅱ）如何上下平移f（x）的圖象，使得f（x）平移后的圖象與g（x）的圖象有公共點且在公共點處切線相同．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）表示出h（x），利用導數(shù)求出極值，可判斷即為最小值；
（Ⅱ）設(shè)上下平移f（x）的圖象為c個單位的函數(shù)解析式為y=x²+c．設(shè)y=x²+c與y=2lnx的公共點為（x₀，y₀）．依題意有：

x02+c=2lnx0 2x0= 2 x0

，解出可得．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=x²-2lnx，則h'（x）=2x-

2

x

，
令h'（x）=0，解得x=1，
當x∈（0，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減；當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增；
∴當x=1時，h（x）達到最小，h（x）的最小值為h（1）=1．
（Ⅱ）設(shè)上下平移f（x）的圖象為c個單位的函數(shù)解析式為y=x²+c．
設(shè)y=x²+c與y=2lnx的公共點為（x₀，y₀）．
依題意有：

x02+c=2lnx0 2x0= 2 x0

，
解得x₀=1，c=-1，
故將f（x）的圖象向下平移1個單位后，兩函數(shù)圖象在公共點（1，0）處有相同的切線．

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值、導數(shù)的幾何意義、圖象的平移變換，屬中檔題，正確理解導數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系是解題基礎(chǔ)．