如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面所成的角為60°,AB=BC,A1A=A1C=2,AB⊥BC,側面AA1C1C⊥底面ABC.
(1)證明:A1B⊥A1C1;
(2)求二面角A-CC1-B的大;
(3)求經(jīng)過A1、A、B、C四點的球的表面積.
分析:此題可利用空間向量做:由于A1O⊥AC,BO⊥AC,A1A=A1C=2故取AC中點為O則A1O⊥AC,BO⊥AC而側面AA1C1C⊥底面ABC且故可利用面面垂直的性質定理可得A1O⊥OB所以可以OB,OC,OA1所在的直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.
(1)要證明A1B⊥A1C1即證明
A1B
A1C1
即說明
A1B
A1C1
=0即可故需求出
A1B
A1C1
的坐標然后利用平面向量數(shù)量積的坐標計算求出
A1B
A1C1
即可.
(2)分別求出面BCC1,面ACC1的法向量m,n然后利用向量的夾角公式cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
||
n
|
求出<
m
n
>而點B在平面ACC1內(nèi)的射影O在二面角的面ACC1內(nèi)故二面角A-CC1-B為銳角所以二面角A-CC1-B的大小為<
m
,
n
>(cos<
m
n
>>0)或π-<
m
,
n
>(cos<
m
n
><0).
(3)由于A1A=A1C,AB⊥BC,O為AC的中點故A,B,C三點所在的平面截經(jīng)過A1、A、B、C四點的球所得的截面為球的小圓而A1O⊥平面ABC故經(jīng)過A1、A、B、C四點的球的球心在A1O上而三角形A1AC為正三角形故根據(jù)對稱性可知球心在正三角形A1AC的中心然后利用正三角形的性質求出球的半徑再結合球的表面經(jīng)公式即可得解.
解答:解:取AC中點為O,由A1A=A1C,AB=BC,知A1O⊥AC,BO⊥AC,
又平面AA1C1C⊥平面ABC,所以A1O⊥OB.
建立如圖所示的坐標系O-xyz,則A(0,-1,0),B(1,0,0),
A1(0,0,
3
),C(0,1,0).
(1)∵
A1B
=(1,0,-
3
),
A1C1
=
AC
=(0,2,0)
A1B
A1C1
=0
∴A1B⊥A1C1
(2)設
m
=(x,y,z)為面BCC1的一個法向量.
BC
=(-1,1,0),
CC1
=
AA1
=(0,1,
3

m
BC
=
m
CC1
=0,
-x+y=0
y+
3
z=0
取n=(
3
,
3
,-1).
n
=(1,0,0)是面ACC1的法向量,
∴cos<
m
,
n
>=
m
n
|
m
||
n
|
=
3
7
=
21
7

由點B在平面ACC1內(nèi)的射影O在二面角的面ACC1內(nèi),知二面角A-CC1-B為銳角,
∴二面角A-CC1-B的大小為arccos
21
7

(3)設球心為O1,因為O是△ABC的外心,A1O⊥平面ABC,
所以點O1在A1O上,則O1是正三角形A1AC的中心.
則球半徑R=
3
3
A1A=
2
3
3
,球表面積S=4πR2=
16
3
π.
點評:本題主要考察了利用空間向量證明線線垂直、求二面角以及求球的表面積,屬常考題,較難.解題的關鍵是正確建立空間直角坐標系然后將線線垂直、二面角問題轉化為證明向量垂直,法向量的夾角問題,同時還要求計算一定要準確!
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精英家教網(wǎng)如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AC=BC=2,AA1=4,AB=2
2
,M,N分別是棱CC1,AB中點.
(Ⅰ)求證:CN⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)求證:CN∥平面AMB1;
(Ⅲ)求三棱錐B1-AMN的體積.

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A1P
A1B1

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(2)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角最大值的正切值.

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如圖,已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N分別是CC1,BC的中點,點P在直線A1B1上,且
A1P
A1B1
;
(Ⅰ)證明:無論λ取何值,總有AM⊥PN;
(Ⅱ)當λ取何值時,直線PN與平面ABC所成的角θ最大?并求該角取最大值時的正切值;
(Ⅲ)是否存在點P,使得平面PMN與平面ABC所成的二面角為30°,若存在,試確定點P的位置,若不存在,請說明理由.

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CG
|的值為( 。

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(1)求證:BD⊥AC1
(2)若AB=
2
,AA1=2
3
,求AC1與平面ABC所成的角.

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