Question

F為拋物線y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)，l₁，l₂分別是該拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線，l₁，l₂相交于點(diǎn)C，設(shè)|AF|=a，|BF|=b，則|CF|=（　　）

• A、

  a+b

• B、

  a+b

  2

• C、

  a2+b2

• D、

  ab

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,圓錐曲線的共同特征

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：對y²=2px （p＞0）兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，則y′=

p

y

．設(shè)A（m，n），B（s，t），得到直線l₁，l₂的斜率，求出它們的切線方程，求出它們的交點(diǎn)，設(shè)AB：x=ky+

p

2

，代入拋物線方程，消去x得，y²-2pky-p²=0，運(yùn)用韋達(dá)定理，從而得到l₁⊥l₂，求出直線CF的斜率，得到直線AB與直線CF垂直，再由直角三角形的射影定理，即可得到答案．

解答： 解：對y²=2px （p＞0）兩邊對x求導(dǎo)數(shù)，得到2yy′=2p，則y′=

p

y

．
設(shè)A（m，n），B（s，t），則切線l₁的斜率為

p

n

，切線l₂的斜率為

p

t

，
設(shè)AB：x=ky+

p

2

，代入拋物線方程，消去x得，y²-2pky-p²=0，
則n+t=2pk，nt=-p²，
則

p

n

•

p

t

=-1，即有l(wèi)₁⊥l₂，
又l₁：y-n=

p

n

（x-m），即有ny=px+pm，
同理可得l₂：ty=px+ps，
由于n²=2pm，t²=2ps，
則由l₁，l₂解得交點(diǎn)C（-

p

2

，

n+t

2

），即（-

p

2

，pk），
則CF的斜率為：

pk-0

- p 2 - p 2

=-k，
故直線AB與直線CF垂直，
在直角三角形ABC中，CF是斜邊AB上的高，則由射影定理可得，CF²=AF•BF，
即有CF=

AF•BF

=

ab

，
故選D．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和運(yùn)用，考查切線方程的求法，考查兩直線的位置關(guān)系，以及直角三角形的射影定理，具有一定的難度．