Question

已知圓心為的圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的線段長為，求直線的方程；

（3）是否存在斜率是1的直線，使得以被圓所截得的弦EF為直徑的圓經(jīng)過

原點(diǎn)？若存在，試求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）;（2）或；（3）不存在．

【解析】

試題分析：（1）用兩點(diǎn)的距離公式求出圓的半徑，就可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）法一：由圓的弦長可求得圓心到直線的距離，再用點(diǎn)斜式設(shè)出所求直線的方程，應(yīng)用待定系數(shù)法：由點(diǎn)到直線的距離公式，就可求出所求直線的斜率，從而就可求得所求的直線方程，只是一定要注意：斜率不存在情形的討論；法二：設(shè)出直線的斜率，寫出直線方程，與圓方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及弦長公式，就可用斜率的代數(shù)式將弦長表示出來，從而獲得關(guān)于斜率的方程解之即得；一樣也需考慮斜率不存在情形；（3）法一：假設(shè)所求直線存在，先用斜截式設(shè)出其方程，并用m的式子表示出弦EF的中點(diǎn)坐標(biāo)，再畫出圖形，由以弦EF為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)知，再作勾股定理即可獲得關(guān)于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫出對應(yīng)直線方程，無解則不存在；法二：將直線方程與圓方程聯(lián)立，消元，再用韋達(dá)定理，將條件應(yīng)用向量知識轉(zhuǎn)化為，然后將韋達(dá)定理的結(jié)論代入即可獲得關(guān)于m的方程，解此方程，有解則存在，并可寫出對應(yīng)直線方程，無解則不存在．

試題解析：（1）圓的半徑為, 1分

∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 3分

（2）方法一 如圖所示，設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則， 且，

∵圓的半徑為4，即

∴在中，可得，即點(diǎn)到直線的距離為2． 4分

（i）當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為,即． 5分

由點(diǎn)到直線的距離公式得：=2，解得.

∴此時直線的方程為. 7分

（ii）當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為.

將代入得，，

∴,,

∴方程為的直線也滿足題意.

∴所求直線的方程為或. 8分

方法二：當(dāng)所求直線的斜率存在時，設(shè)所求直線的方程為,即.---4分

聯(lián)立直線與圓的方程:, 5分

消去得 ①

設(shè)方程①的兩根為,

由根與系數(shù)的關(guān)系得 ②

由弦長公式得|x1-x2|==4 ③

將②式代入③，并解得，

此時直線的方程為. 7分

當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，

仿方法一驗(yàn)算得方程為的直線也滿足題意.

∴所求直線的方程為或. 8分

（3）方法一：假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，設(shè)的方程為,

則的中點(diǎn)是兩直線與的交點(diǎn),即, 10分

∴.

∵以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，

∴，

∴， 12分

又∵，，

∴，化簡得，

∵方程沒有實(shí)數(shù)解，

∴不存在滿足題設(shè)條件的直線． 14分

方法二： 假設(shè)存在直線滿足題設(shè)條件，并設(shè)的方程為，點(diǎn)，點(diǎn),

聯(lián)立直線與圓的方程, 9分

消去得

由根與系數(shù)的關(guān)系得 ④ 11分

∵以為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，

∴.

若、中有一點(diǎn)在軸上，則另一點(diǎn)必在軸上，而在圓的方程中令可得無實(shí)數(shù)解，故本情況不會出現(xiàn)． --------12分

∴即，

∴，

化簡得: ， 13分

以④代入并化簡得

∵方程沒有實(shí)數(shù)解，

∴不存在滿足題設(shè)條件的直線． 14分

考點(diǎn)：1．圓的方程；２．直線與圓的位置關(guān)系．