Question

如圖，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P為AB邊上一動點，PD∥BC交AC于點D，現將△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若點P為AB的中點，E為A′C的中點，求證：A′B⊥DE；
（Ⅱ）當棱錐A′-PBCD的體積最大時，求PA的長．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）設F為A′B的中點，連接PF，FE，通過PDEF是平行四邊形，證明A′B⊥DE；
（Ⅱ）令PA=x（0＜x＜2）求出體積表達式，利用導數確定函數的單調性，求出函數的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：如圖，設F為A′B的中點，連結PF，FE．
則有EF∥BC，EF=

1

2

BC，PD∥BC，PD=

1

2

BC，
∴DE∥PF，又A′P=PB，
∴PF⊥A′B，
故A′B⊥DE．
（Ⅱ）解：令PA=x（0＜x＜2），則A′P=PD=x，BP=2-x．
∵A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
∴A′P⊥平面PBCD．
∴V_A′-PBCD=

1

3

Sh=

1

6

（2-x）（2+x）x=

1

6

（4x-x³）．
令f（x）=

1

6

（4x-x³），
由f′（x）=

1

6

（4-3x²）=0，得x=

2 3

3

．
當x∈（0，

2 3

3

）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（

2 3

3

，2）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
∴當x=

2 3

3

時，f（x）取得最大值，
故當V_A′-PBCD最大時，PA=

2 3

3

．

點評：本題是中檔題，考查幾何體的體積計算，函數最大值的求法，直線與直線的垂直的證明方法，考查空間想象能力，計算能力．