Question

橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.點(diǎn)P(1，)、A、B在橢圓E上，且＋＝m(m∈R)．

(1)求橢圓E的方程及直線AB的斜率；

(2)求證：當(dāng)△PAB的面積取得最大值時(shí)，原點(diǎn)O是△PAB的重心．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，

橢圓方程為；…………………………………………………………2分

設(shè)A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）， 由得

（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即 

又，，兩式相減得

; ………………………6分

（2）設(shè)AB的方程為 y=，代入橢圓方程得：x²-tx+t²-3=0，

△=3(4-t²)，|AB|=，

點(diǎn)P到直線AB的距離為d=，

S_△PAB      == （-2<t<2）. ……………….10分

令f(t) =3(2-t)³(2+t)，則f’(t)=-12(2-t)²(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），

當(dāng)-2<t<-1時(shí)，f’(t)>0，當(dāng)-1<t<2時(shí)f’(t)<0，所以當(dāng)t=-1時(shí)，f(t)有最大值81，

即△PAB的面積的最大值是；                

根據(jù)韋達(dá)定理得 x₁+x₂=t=-1，而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，

于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，

因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0，0)．……………………………………………………13分

 

【解析】略