Question

（2009•崇明縣一模）設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，f(

C

2

)=-

1

4

，且C為銳角，S△ABC=5

3

，a=4，求c邊的長．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)兩角和的余弦公式以及二倍角公式對函數(shù)解析式進行整理得到f（x）=

1

2

-

3

2

sin2x；再結(jié)合正弦函數(shù)的最值以及周期的求法即可得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)條件求出sinC=

3

2

，再結(jié)合C為銳角，得到cosC=

1

2

；最后根據(jù)三角形的面積公式求出b；再代入余弦定理即可求出c邊的長．

解答：解：（1）f(x)=cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x
所以T=

2π

ω

=π；
當x=kπ-

π

4

(k∈Z)時，fmax(x)=

1

2

+

3

2

．
（2）由f(

C

2

)=-

1

4

得，

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

；
所以sinC=

3

2

，C為銳角，故cosC=

1

2

；
S△=

1

2

absinC，a=4，所以b=5
所以：c²=a²+b²-2abcosC
=21
故c=

21

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的周期性及其求法以及二倍角的余弦和余弦定理的應(yīng)用．解決這類問題的關(guān)鍵在于對公式的熟練掌握以及靈活運用．