Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若.證明函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)?/span>，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，使在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，進(jìn)而分別計(jì)算并判斷，，與零的大小比較，最后由零點(diǎn)的存在性定理即可確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知，進(jìn)而表示，再由分析法逐步反推不等式，最后令，構(gòu)造函數(shù)，由（1）的單調(diào)性分析，表示最小值并由雙勾函數(shù)證得，即可得證.

（1）由題可知，定義域

當(dāng)時(shí)，函數(shù)，則，（為的導(dǎo)函數(shù)）

單調(diào)遞增

，

使.

時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增

所以

由雙勾函數(shù)性質(zhì)可知，在遞減，，，且，

在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

又，且

所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)

綜上，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，知

要證

需證

令

需證

令

與（1）同理得

所以

故