Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2+3x）+

m

2

x²在x=

1

3

處取得極值．
（1）求f（x）在[0，1]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的x∈[

1

6

，

1

3

]，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數(shù)的定義域，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)當(dāng)導(dǎo)數(shù)等于0時(shí)函數(shù)取到極值，求出m的值，再判斷函數(shù)的單調(diào)性
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用恒成立求a的取值范圍

解答：解：（1）由題意得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞-

2

3

}，
f′（x）=

3

2+3x

+mx=

3+2mx+3mx2

2+3x

，
又函數(shù)f（x）在x=

1

3

處取得極值，
∴f′（

1

3

）=0，即m=-3，
此時(shí)，f′（x）=

-3(x+1)(3x-1)

2+3x

．
∴在[0，1]上，當(dāng)0≤x＜

1

3

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)

1

3

＜x≤1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．∴f（x）在x=

1

3

處取得極大值．
∴f（x）在[0，1]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

1

3

]，單調(diào)遞減區(qū)間為[

1

3

，1]．
（2）∵f′（x）+3x=

3

2+3x

，
∴當(dāng)x∈[

1

6

，

1

3

]時(shí)，ln[f′（x）+3x]∈[0，ln

6

5

]（當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

3

時(shí)，ln[f′（x）+3x]=0）．
因此，不等式|a-lnx|+ln[f′（x）+3x]＞0恒成立的a的取值范圍是（-∞，ln

1

3

）∪（ln

1

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)以及利用導(dǎo)數(shù)球函數(shù)的單調(diào)性，利用恒成立求未知量的取值范圍，注意先確定自變量的取值范圍