Question

6．過橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由于直線l過右焦點(diǎn)，則當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，AB即為通徑長，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-1），聯(lián)立橢圓方程，求出交點(diǎn)，運(yùn)用兩點(diǎn)距離，再化簡整理，求出AB的范圍，即可得到最小值．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$，則a=$\sqrt{2}$，b=1，c=1，
由于直線l過右焦點(diǎn)（1，0），則當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，
令x=1，則y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得|AB|=$\sqrt{2}$；
當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l：y=k（x-1），
代入橢圓方程得，（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
即有x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
即有|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）^{2}-\frac{8（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{2}$•（1+$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$）＞$\sqrt{2}$．
則最小值為$\sqrt{2}$，
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．