Question

已知橢圓C₁：＝1，橢圓C₂以C₁的短軸為長軸，且與C₁有相同的離心率．
(1)求橢圓C₂的方程；
(2)設(shè)直線l與橢圓C₂相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,0)，點(diǎn)Q(0，y₀)在線段AB的垂直平分線上，且＝4，求直線l的方程．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）y＝± (x＋2)

(1)由題意可設(shè)橢圓C₂的方程為＝1(a>b>0)，則a＝2，e＝，∴c＝，b²＝1，
∴橢圓C₂的方程為＋y²＝1.
(2)由A(－2,0)，設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₁，y₁)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為y＝k(x＋2)．
于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組
由方程組消去y并整理，得(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0，由－2x₁＝，得x₁＝，從而y₁＝，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，
則M的坐標(biāo)為.
①當(dāng)k＝0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是＝(－2，－y₀)，＝(2，－y₀)，由·＝4，得y₀＝±2，∴l的方程為y＝0.
②當(dāng)k≠0時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為
y－＝－，令x＝0，解得y₀＝－，由＝(－2，－y₀)，＝(x₁，y₁－y₀)，·＝－2x₁－y₀(y₁－y₀)＝＋·＝4，整理得7k²＝2，
故k＝±，∴l的方程為y＝± (x＋2)．