Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足，設(shè)．
（1）求證：{b_n}為等差數(shù)列；
（2）若，求的值；
（3）是否存在正實(shí)數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*都成立？若存在，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，再寫一式，兩式相減，利用，即可證得{b_n}為公差為2的等差數(shù)列；
（2）先確定{b_n}的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，進(jìn)而可求極限；
（3）問題等價(jià)于，令，確定f（n）單調(diào)遞增，求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解答：（1）證明：由①，可得②，
②-①，得
∴，
∴
∴b_n+1-b_n=2，
∴{b_n}為公差為2的等差數(shù)列．
（2）解：由（1），b_n=b₁+2（n-1），在①中令n=1，得，∴，
∴，∴，
∴，
∴=
=．
（3）解：，即，
∴，
令，
∴=
=，
又f（n）＞0，
∴f（n+1）＞f（n），即f（n）單調(diào)遞增，
∴，
故要使f（n）≥k對(duì)任意n∈N^*都成立，當(dāng)且僅當(dāng)[f（n）]_min≥k，故．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，考查恒成立問題，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值是關(guān)鍵．