Question

已知點(diǎn)P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）都在函數(shù)y=log

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2

x的圖象上．
（Ⅰ）若數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，求證數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=1-2^-n，過(guò)點(diǎn)P_n，P_n+1的直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為c_n，求使c_n≤t對(duì)n∈N^*恒成立的實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)P_n（a_n，b_n）代入函數(shù)式，根據(jù)數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，可求得a²_n+1=a_na_n+1進(jìn)而可證明數(shù)列a_n}為等比數(shù)列
（2）先看當(dāng)n≥2時(shí)根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得當(dāng)n=1時(shí)也符合，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log

1

2

a_n求得b_n，進(jìn)而求得點(diǎn)P_n和P_n+1的坐標(biāo)進(jìn)而可得過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程，進(jìn)而求得該直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式求得c_n，進(jìn)而可得c_n-c_n+1的表達(dá)式判斷其大于0，推斷出數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，要使c_n≤t對(duì)n∈N⁺恒成立，需要t大于或等于數(shù)列的最大值c₁，進(jìn)而可推斷存在最小的實(shí)數(shù)滿足條件．

解答：解：（1）依題意可知b_n=log

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2

a_n，
∵數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，
∴2b_n+1=b_n+b_n+2，即2log

1

2

a_n+1=log

1

2

a_n+log

1

2

a_n+2=log

1

2

（a_na_n+2）
∴a²_n+1=a_na_n+2
∴數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列
（2）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

）ⁿ，n=1也適合此式，
即數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是a_n=（

1

2

）ⁿ．由b_n=log

1

2

a_n，得
數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=n，
所以P_n（

1

2n

，n），P_n+1（

1

2n+1

，n+1）．
過(guò)這兩點(diǎn)的直線方程是：

y-n

n+1-n

=

x- 1 2n

1 2n+1 - 1 2n

可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是A_n（

n+2

2n+1

，0），B_n（0，n+2），
c_n=

1

2

×|OA_n|×|OB_n|=

(n+2) 2

2n+2

，
由于c_n-c_n+1=

(n+2) 2

2n+2

-

(n+3) 2

2n+3

＞0，即數(shù)列{c_n}的各項(xiàng)依次單調(diào)遞減，所以t≥c₁=

9

8

，即存在最小的實(shí)數(shù)t=

9

8

滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野．