Question

已知函數(shù)f（x）=

mx+n

1+x2

是定義在[-

1

2

，

1

2

]上的奇函數(shù)，且f（-

1

4

）=

8

17

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義證明函數(shù)f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)；
（3）若實(shí)數(shù)t滿足f（3t）+f（

1

2

-t）＜0，求t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），求得n=0，再根據(jù)f（-

1

4

）=

8

17

，求得m=-2，可得函數(shù)f（x）的解析式．
（2）設(shè)-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，求得 f（x₁）-f（x₂）為

2(x2-x1)+2x1x2(x1-x2)

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），從而得到f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)．
（3）由題意得f(3t)＜-f(

1

2

-t)，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)可得f(3t)＜f(t-

1

2

)．結(jié)合f（x）是定義在[-

1

2

，

1

2

]上的減函數(shù)，可得

- 1 2 ≤3t≤ 1 2 - 1 2 ≤t- 1 2 ≤ 1 2 3t＞t- 1 2

，由此求得t的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）∴

m(-x)+n

1+x2

=-

mx+n

1+x2

，
∴m（-x）+n=-（mx+n），∴n=0，∴f(x)=

mx

1+x2

．
又∵f（-

1

4

）=

8

17

，∴

m•(- 1 4 )

1+(- 1 4 )2

=

8

17

，∴m=-2，∴f(x)=-

2x

1+x2

．
（2）設(shè)-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，則f（x₁）-f（x₂）=-

2x1

1+x12

-(-

2x2

1+x22

)=

-2x1(1+x22)+2x2(1+x12)

(1+x12)(1+x22)

=

-2x1-2x1x22+2x2+2x2x12

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)+2x1x2(x1-x2)

(1+x12)(1+x22)

=

2(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵-

1

2

≤x1＜x2≤

1

2

，∴x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）∴f（x）在[-

1

2

，

1

2

]上是減函數(shù)．
（3）f(3t)+f(

1

2

-t)＜0可化為  f(3t)＜-f(

1

2

-t)，
∵f（x）是奇函數(shù)，∴-f(

1

2

-t)=f(t-

1

2

)，∴f(3t)＜f(t-

1

2

)．
由（2）得f（x）是定義在[-

1

2

，

1

2

]上的減函數(shù)．
∴

- 1 2 ≤3t≤ 1 2 - 1 2 ≤t- 1 2 ≤ 1 2 3t＞t- 1 2

，∴

- 1 6 ≤t≤ 1 6 0≤t≤1 t＞- 1 4

，∴0≤t≤

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．