Question

小明家訂了一份報紙，寒假期間他收集了每天報紙送達時間的數(shù)據(jù)，并繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（Ⅰ）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)信息，求出眾數(shù)x₀；
（Ⅱ）小明的父親上班離家的時間y在上午7：00至7：30之間，而送報人每天在x₀時刻前后半小時內(nèi)把報紙送達（每個時間點送達的可能性相等）：
①求小明的父親在上班離家前能收到報紙（稱為事件A）的概率；
②求小明的父親周一至周五在上班離家前能收到報紙的天數(shù)X的數(shù)學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)眾數(shù)是頻率分布直方圖中最高矩形的底邊中點的橫坐標可得結論；
（2）①作出實驗的所有的基本事件由平面區(qū)域，以及事件“小明的父親能拿到報紙”（事件A）的基本事件，利用幾何概型的概率公式解之即可；
②分析可知小明的父親一周5天（假日除外）能取到報紙的天數(shù)X服從二項分布，然后根據(jù)二項分布的數(shù)學期望公式解之即可．

解答： 解：（1）觀察頻率分布直方圖，頻率最大在[6：50，7：10），眾數(shù)x₀=7：00
（2）記報紙送達的時間為x，x∈[6.5，7.5]
①如圖所示，實驗的所有的基本事件由平面區(qū)域Ω={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤x≤7.5}
而事件“小明的父親能拿到報紙”（事件A）的基本事件可由圖中陰影部分表示
∵S_Ω=

1

2

×1=

1

2

，S_陰=

1

2

-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

3

8

∴P（A）=

3

4

②依題意得，X～B（5，

3

4

）
∴EX=5×

3

4

=

15

4

故小明的父親一周5天（假日除外）能取到報紙的天數(shù)X的數(shù)學期望為

15

4

．

點評：本題主要考查了眾數(shù)的概念，以及頻率分布直方圖和離散型隨機變量的概率分布，同時考查了識圖能力和計算能力，屬于基礎題．