Question

【題目】已知函數(shù)，又恰為 的零點(diǎn).

(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時，求證

Answer 1

【答案】（1）單減區(qū)間為（0，），（，+∞），單增區(qū)間為（）；(2)見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，利用a的取值范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）由g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，通過兩式相減，整理化簡可得1-b（x2+x1），再代入計(jì)算可得g′（）[2ln]，然后換元，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值即可證明.

（1）函數(shù)f（x）＝，；

∴f′（x）＝2ax+（）（x＞0），

因?yàn)?/span>，f′（x）＝0或，且，

∴當(dāng)時，則f（x）的單減區(qū)間為（0，），（，+∞），單增區(qū)間為（）；

(2)當(dāng)時，g(x)=2lnx--x+bx，

∴g′（x）(1-b)﹣2x.

∵x1，x2（x1＜x2）是g（x）的兩個零點(diǎn)，

∴g（x1）＝2lnx1﹣x12﹣(1-b)x1＝0，g（x2）＝2lnx2﹣x22﹣(1-b)x2＝0，

兩式相減可得2ln（x22﹣x12）﹣(1-b)（x2﹣x1）＝0，

∴1-b（x2+x1），

∵g′（x）(1-b)﹣2x，

∴g′（）（x2+x1）﹣[（x2+x1）][2ln][2ln]，

不妨設(shè)設(shè)t＝ln1，構(gòu)造函數(shù)h（t）＝lnt，

則h′（t）0，

∴h（t）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

∴h（e）＞h（1）＝0，

∵0，

∴g′（）＜0，又,

∴.