Question

已知數(shù)列{a_n}的第一項(xiàng)a₁=5且S_n-1=a_n（n≥2， n∈N*）。
（1）求a₂，a₃，a₄，并由此猜想a_n的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明{a_n}的通項(xiàng)公式。

Answer 1

解：（1）a₂=S₁=a₁=5，a₃=S₂=a₁+a₂=10，
a₄=S₃=a₁+a₂+a₃=5+5+10=20，
猜想a_n=5×2^n-2（n≥2，n∈N*）；
（2）證明：①當(dāng)n=2時(shí)，a₂=5×2^2-2=5，猜想成立，
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=5×2^k-2（k≥2，k∈N*），
當(dāng)n=k+1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有a_k+1=S_k=a₁+a₂+…+a_k=5+5+10+…+5×2^k-2
故n=k+1時(shí)，猜想也成立，
由①②可知，對(duì)n≥2，n∈N*有a_n=5×^₂n-2，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=。