Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）．
（Ⅰ）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）證明：．

Answer 1

解：（Ⅰ），因?yàn)閤=0是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，∴f'（0）=0，∴a=0驗(yàn)證知a=0符合條件．------------2分
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/355372.png' />
1）若a=0時(shí)，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減；
2）若，∴f（x）在R上單調(diào)遞減；
3）若-1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0∴∴，
在；
綜上所述，若a≤-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，
若-1＜a＜0時(shí)，，
若a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，0）單調(diào)遞減．---------8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）在（-∞，+∞）單調(diào)遞減
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0∴l(xiāng)n（1+x²）＜x
∴
∴---------------------13分
分析：（Ⅰ）求出f′（x），因?yàn)閒（x）在x=0時(shí)取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（Ⅱ）分三種情況：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（Ⅲ）由（2）知當(dāng)a=-1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，所以得到ln（1+x²）＜x，利用這個(gè)結(jié)論根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則化簡不等式的左邊得證即可．
點(diǎn)評：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，以及會用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，會利用單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)運(yùn)算證明不等式．會求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和．以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力．