Question

20．如圖，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平而ABC，F(xiàn)是BE中點(diǎn)，AE=AB=2，CD=1．
    （1）求證：DF∥平面ABC； 
    （2）求證：AF⊥DE； 
    （3）求異面直線AF與BC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC中點(diǎn)O，過O作平面ABC的垂線交DE，連結(jié)OB，以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OG所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明DF∥平面ABC．
（2）分別求出$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{DE}$，利用向量法能證明AF⊥DE．
（3）分別求出$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{BC}$，利用向量法能求出異面直線AF與BC所成角的余弦值．

解答 （1）證明：取AC中點(diǎn)O，過O作平面ABC的垂線交DE
連結(jié)OB，則OG⊥OB，OG⊥OC，
∵△ABC是正三角形，O是AC中點(diǎn)，∴OB⊥OC，
以O(shè)為原點(diǎn)，OB、OC、OG所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵F是BE中點(diǎn)，AE=AB=2，CD=1，
∴A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}，0，0$），C（0，1，0），
D（0，1，1），E（0，-1，2），F(xiàn)（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{1}{2}，1$），
∴$\overrightarrow{DF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，-\frac{3}{2}$，0），$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1），
∵CD⊥平面ABC，∴$\overrightarrow{CD}$=（0，0，1）是平面ABC的一個(gè)法向量，
∵$\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×0+（-\frac{3}{2}）×0+0×1=0$，∴$\overrightarrow{DF}⊥\overrightarrow{CD}$，
又DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC．
（2）證明：∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{DE}$=0-1+1=0，
∴AF⊥DE．
（3）解：∵$\overrightarrow{AF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}，1$），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），
設(shè)AF、BC所成角為θ，
cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AF}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{-\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}{\sqrt{2}•2}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∴異面直線AF與BC所成角的余弦值$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．