Question

（本小題共13分）已知函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，且時(shí)有極小值．

（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若不等式（為正整數(shù)）對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，求的最大值．（解答過程可參考使用以下數(shù)據(jù)：）

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）6

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由極值點(diǎn)概念得，可列方程組解出但這是必要條件，需驗(yàn)證其充分性，即列表分析函數(shù)在時(shí)取極小值，再利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求單調(diào)區(qū)間：由解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）不等式恒成立問題，往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題：記，從而求，易得，所以轉(zhuǎn)化證明即恒成立，再令，由于，，

所以的最大值為．

試題解析：（Ⅰ）由，因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)有極小值，

所以，從而得， 2分

所求的，所以，

由解得，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為. 4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015071306035896849102/SYS201507130604019528984899_DA/SYS201507130604019528984899_DA.023.png">，所以等價(jià)于

，即， 6分

記，

則，

由，得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以， 8分

對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立，

等價(jià)于，即. 10分

記，

則，所以在上單調(diào)遞減，

又，

所以的最大值為． 13分

考點(diǎn)：函數(shù)極值，利用導(dǎo)數(shù)解不等式