Question

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，P為棱AA′上一動(dòng)點(diǎn)，Q為底面ABCD上一動(dòng)點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，若點(diǎn)P，Q都運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)空間幾何體，則這個(gè)幾何體是（　　）

• A、棱柱
• B、棱臺(tái)
• C、棱錐
• D、球的一部分

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：分別取P、Q為特殊位置，得到M的部分軌跡，然后靠空間想象得到M點(diǎn)的其它位置，得到點(diǎn)M構(gòu)成的點(diǎn)集是一個(gè)棱柱體．

解答： 解：由題意知，當(dāng)P在A′處，Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AA′的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AB的線段（靠近AA′），當(dāng)P在A′處，Q在AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AA′的中點(diǎn)，在平面AA′D′D內(nèi)平行于AD的線段（靠近AA′），
當(dāng)Q在B處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AB的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AA′的線段（靠近AB），
當(dāng)Q在D處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AD的中點(diǎn)，在平面AA′B′B內(nèi)平行于AA′的線段（靠近AD），
當(dāng)P在A處，Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AB的中點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)平行于AD的線段（靠近AB），
當(dāng)P在A處，Q在CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M的軌跡為過AD的中點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)平行于AB的線段（靠近AB），
同理得到：P在A′處，Q在BC上運(yùn)動(dòng)；P在A′處，Q在CD上運(yùn)動(dòng)；P在A′處，Q在C處，P在AA′上運(yùn)動(dòng)；
P、Q都在AB，AD，AA′上運(yùn)動(dòng)的軌跡．進(jìn)一步分析其它情形即可得到M的軌跡為棱柱體．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程問題，考查了學(xué)生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．