Question

已知等差數(shù)列{x_n}，S_n是{x_n}的前n項和，且x₃=5，S₅+x₅=34．
（1）求{x_n}的通項公式；
（2）設(shè)，T_n是{a_n}的前n項和，是否存在正數(shù)λ，對任意正整數(shù)n，k，不等式恒成立？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．
（3）判斷方程sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n是否有解，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)等差數(shù)列{x_n}的公差為d
由x₃=5，S₅+x₅=34，可得，∴，∴x_n=2n-1
（2）由恒成立，則恒成立
即，即，
又λ＞0，所以
因為[=1，所以，即，故
（3）sin²x_n+x_ncosx_n+1=S_n，由于，
則方程為：sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²
①n=1時，sin²1+cos1=0無解；
②n=2時，sin²3+3cos3+1=4，所以cos²3-3cos3+2=0，所以cos3=1或cos3=2無解；
③n≥3時，sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1＜1+（2n-1）+1=2n+1＜n²
所以sin²（2n-1）+（2n-1）cos（2n-1）+1=n²無解
綜上所述，對于一切正整數(shù)原方程都無解．
分析：（1）由x₃=5，S₅+x₅=34，確定數(shù)列的首項與公差，即可求{x_n}的通項公式；
（2）由恒成立，可得，根據(jù)λ＞0，可得，從而可得λ的取值范圍；
（3）分類討論，利用三角函數(shù)的值域，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查等差數(shù)列的通項，考查恒成立問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．