Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定三點(diǎn)，點(diǎn)P到直線BC的距離是該點(diǎn)到直線AB，AC距離的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線L經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心（設(shè)為D），且與P點(diǎn)的軌跡恰好有3個(gè)公共點(diǎn)，求L的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為．點(diǎn)P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為．由此能求出點(diǎn)P的軌跡方程．
（Ⅱ）點(diǎn)P的軌跡包含圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0．△ABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由d₁=d₂=d₃，解得．設(shè)L的方程為．再分情況討論能夠求出直線L的斜率k的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）直線AB、AC、BC的方程依次為．點(diǎn)P（x，y）到AB、AC、BC的距離依次為．依設(shè)，d₁d₂=d₃²，得|16x²-（3y-4）²|=25y²，即16x²-（3y-4）²+25y²=0，或16x²-（3y-4）²-25y²=0，化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為
圓S：2x²+2y²+3y-2=0與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0
（Ⅱ）由前知，點(diǎn)P的軌跡包含兩部分
圓S：2x²+2y²+3y-2=0①
與雙曲線T：8x²-17y²+12y-8=0②△ABC的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn)，由d₁=d₂=d₃，解得，且知它在圓S上．直線L經(jīng)過(guò)D，且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)，所以，L的斜率存在，設(shè)L的方程為③
（i）當(dāng)k=0時(shí)，L與圓S相切，有唯一的公共點(diǎn)D；此時(shí)，直線平行于x軸，表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn)，所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)．
（ii）當(dāng)k≠0時(shí)，L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．這時(shí)，L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況：
情況1：直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C，此時(shí)L的斜率，直線L的方程為x=±（2y-1）．代入方程②得y（3y-4）=0，解得．表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E；直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F．
故當(dāng)時(shí)，L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)．（11分）
情況2：直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C（即），因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解，消去y并化簡(jiǎn)得
該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是8-17k²=0④
或⑤
解方程④得，解方程⑤得．
綜合得直線L的斜率k的取值范圍．（14分）
點(diǎn)評(píng)：求題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法和求L的斜率k的取值范圍，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用，利用圓錐曲線的性質(zhì)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．