Question

（2007•天津一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點是F，右頂點是A，虛軸的上端點是B，

AB

•

AF

=6-4

3

，∠BAF=150°．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設(shè)Q是雙曲線上的點，且過點F、Q的直線l與y軸交于點M，若

MQ

+2

QF

=

0

，求直線l的斜率．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積及其夾角公式及其雙曲線的性質(zhì)即可得出；
（2）由于點F的坐標(biāo)為(2

2

，0)，可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2

2

)，利用向量相等及其把點Q的坐標(biāo)代入雙曲線方程即可．

解答：解：（1）由條件知A（a，0），B（0，b），F(xiàn)（c，0）

AB • AF =(a，b)•(c-a，0)-a(a-c)=6-4 3 cos∠BAF= AB • AF | AB |•| AF | = a(a-c) c(c-a) =- a c =cos150°- 3 2

，
∴a=

3

2

c，代入a(a-c)=6-4

3

中得c=2

2

．
∴a=

6

，b2=c2-a2=2
若雙曲線的方程為

x2

6

-

y2

2

=1．
（2）∵點F的坐標(biāo)為(2

2

，0)，
∴可設(shè)直線l的方程為y=k(x-2

2

)，
即M(0，-2

2

k)．
設(shè)Q（m，n），則由

MQ

+2

QF

=

0

．
得(m，n+2

2

)+2(2

2

-m，-n)=(0，0)，
即(4

2

-m，2

2

k-n)=(0，0)，即

m=4 2 n=2 2 k

，

∵ m2 6 - n2 2 =1 ∴ (4 2 )2 6 - (2 2 k)2 2 =1 得k2= 13 12 ，k=± 39 6

故直線l的斜率為±

39

6

．

點評：熟練掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運算及其夾角公式、直線及點與雙曲線的關(guān)系等是解題的關(guān)鍵．