Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+（4a-3）x+3a
（1）當a=1，x∈[-1，1]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）已知a＞0且a≠1，若函數(shù)g（x）=$\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜0\\{log_a}（x+1）+1，x≥0\end{array}$為R上的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過a=1化簡二次函數(shù)，求出對稱軸判斷開口方向，然后求解值域；
（2）利用分段函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸，以及函數(shù)值的關(guān)系，求解即可．

解答 解：（1）當a=1時，f（x）=x²+x+3．x∈[-1，1]對稱軸$x=-\frac{1}{2}$，…（1分）
故${f_{min}}（x）=f（-\frac{1}{2}）=\frac{11}{4}$，f_max（x）=f（1）=5…（3分）
函數(shù)f（x）的值域為$[\frac{11}{4}，5]$…（4分）
（2）由已知可得f（x）在（-∞，0）時單調(diào)遞減，
故對稱軸$-\frac{4a-3}{2}≥0$即$a≤\frac{3}{4}$…（6分）
f（x）在[0，+∞）時單調(diào)遞減，故即0＜a＜1…（7分）
又g（x）在R上遞減，則f（0）≥g（0），即3a≥1，解得$a≥\frac{1}{3}$…（9分）
綜上$\frac{1}{3}≤a≤\frac{3}{4}$…（10分）

點評 本題考查分段函數(shù)的應用，二次函數(shù)的性質(zhì)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．